專業 物理

(第三章)作用量

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撰文者:黎偉健 博士 (Department of Physics, Technical University of Munich, Germany)
發文日期:2018-05-18
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  • 在第二章,我們討論了對稱原理和粒子的分類方法。可是,我們只把對稱原理應用在自由 粒子上,並沒有應用在粒子的相互作用上。在本章和未來幾章,我們會討論量子場論中描 述粒子相互作用的框架,以及對稱原理在粒子相互作用中的初步應用。

    要討論量子埸論中粒子的相互作用 ,我們必先認識一個具有核心地位的物理量——作用量 (action)。在經典物理學裏,一切物理過程皆可解釋為作用量在給定邊界條件下取最小 值。這個原理稱為最小作用量原理(principle of least action)。在本章,我們會對作用量 以及它在經典物理學的應用作一簡述。在下一章,我們會討論量子物理中的作用量原 理——路徑積分。


    網站圖經典物理學中的決定論和最小作用量原理

    在經典物理學裏,物理現象遵從決定論。也就是說,給定宇宙某一時刻的狀態,宇宙的過 去和未來便被確定下來。在經典物理學裏,宇宙在某一時刻的狀態是粒子的位置和動量, 以及場(如電磁場)的分佈【註 1】。也就是說,給定某一時刻宇宙中所有粒子的位置和 動量以及場的分佈,透過解牛頓運動方程和場的運動方程(如馬克士威方程(Maxwell equations)),我們便可知道宇宙中所有時刻中所有粒子的位置和動量以及場的分佈。

    從以上的角度看,運動方程(equations of motion)是主宰萬物變化的法則,是經典物理學的基石。運動方程是在時間軸上對物理過程的一種局部描述。另一種描述物理過程的方法 是從整體角度出發。為了闡明局部角度和整體角度的分別和關係,我們可考慮幾何學中最 簡單的例子——直線。

    我們可以怎樣得到一條直線? 設想我們站在平地上行走,並保證在每一時刻我們沒有轉彎, 那麼我們便在以直線行走。這裏“轉彎”的意思是瞬時意義下的轉彎,即時刻 t 的速度 v(t) 的方向與時刻 t+δt 的速度 v(t+δt)的方向相同,其中 δt 為一極小的時間間隔。這是一種對 直線的局部描述,因為判斷路線在點 P 轉彎與否只須考察 P 附近的一極小線段。另一種角度是考慮平面上的兩點 A 和 B。考慮一切連接 A 和 B 的路線,那麼長度最小的路線便是 一直線。這是一種對直線的整體描述,因為路線的長度是路線的整體性質。當然,以局部 角度或整體角度描述的直線都是相同的概念,只不過觀點不同。也就是說,兩種角度是等價的。

    回到物理學,我們先考慮力學中最簡單的例子—— 一顆粒子的均速直線運動。考慮一顆質 量為 m 的粒子,它受的力 F 為零(即自由粒子)。簡單起見,我們假設該粒子只能沿 x 軸運動。那麼根據牛頓運動方程 ma=F(其中 a 為加速度),我們得知 a=0,即粒子的加 速度為零,以均速沿直線運動。由於 a 是瞬時加速度,牛頓運動方程只給出粒子的速度在 時間軸上的局部變化率,所以該方程是一種局部描述。我們嘗試為自由粒子的均速直線運 動作一整體描述。假設粒子花了時間 Δt=t2-t1 從 x1 走到 x2。給定這個條件,我們將會看到, 均速運動相當於以下量(記為S)取最小值:
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    其中 v 為瞬時速度。這個量稱為作用量(action)。給定粒子的初始位置 x(t1)=x1 和最終位 置 x(t2)=x2,粒子的實際運動使得作用量 S 取最小值。這就是最小作用量原理(principle of least action)。作用量S是動能T=(1/2)mv2 對時間的積分,是粒子運動在時間軸上的一個整體性質,所以最小作用量原理是對粒子運動在時間軸上的一種整體描述。均速運動對應恆 等速度 v0=Δx/Δt,其中 Δx=x2-x1。給定的條件“粒子花了時間 Δt=t2-t1 從 x1 走到 x2”蘊含着
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    這相當於 v-t 圖中 v(t)綫以下的面積為已給定常數。圖一顯示了兩種情況下的 v(t)。第一種 情況是均速運動(圖一中的實綫),速度為常數 v0,v(t)綫下的長方形面積為 Δx。第二種情況是均加速度運動(圖一中的虚綫),速度隨時間綫性增加,v(t)綫下的三角形面積為 Δx。讓我們來考察哪一種情況的作用量較小。圖二顯示了兩種情況下的 v2-t 圖。從圖可見,第一種情況的 v2(t)綫(實綫)下的面積顯然比第二種情況的v2(t)綫(虚綫) 下的面積為小。更一般地, 我們可以考慮一切符合 v(t)綫下面積為 Δx的v(t)函數,不難看出均速運動對應最小作用量。
    Fig_1
    圖一
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    圖二
     

    對於粒子受力非零的情況,最小作用量原理也適用。我們只須更改作用量的形式。如果粒 子受的力F由勢能V(x)給出(F=−dV/dx ),那麼粒子的作用量便為
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    其中T=(1/2)mv2 為粒子的動能。考慮一切符合x(t1)=x1和x(t2)=x2的x(t)函數,那麼作用量最小的 x(t)函數便對應牛頓運動方程 ma=F【註二】。圖三顯示了最小作用量原理的圖像, 其中實線具有最小作用量,對應實際的運動,而虚線具有較大的作用量,所以並非實際的運動。
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    圖三

    網站圖作用量的對稱性

    在經典力學裏,最小作用量原理與牛頓運動方程是等價的,它們的分別只在於前者是一整體描述,而後者是一局部描述。最小作用量原理的優點是以它來描逑物理定律的對稱性十 分方便。例如,我們可以把物理定律的空間平移對稱性歸究為作用量 S 在空間平移下不變,即 V(x)不依賴於 x,為一常數。那麼,根據牛頓運動方程, ma=F=−dV/dx =0 ,即粒子以均速運動,動量守恆。這就是第二章提到的諾特定理。更一般地,物理定律的一切對 稱性皆可歸究為作用量在對稱變換下的不變性。

    最小作用量原理也適用於經典場論,例如經典電動力學和廣義相對論。對於這些理論,最 小作用量原理的形式比運動方程(馬克士威方程和愛恩斯坦場方程)更簡潔,所以在現代 被視為這些理論的基本原理。而且,這些理論中最關鍵的對稱性(電動力學的規範對稱和 廣義相對論的廣義座標變換對稱)都在作用量的形式裏一目了然。

    正因為對稱性在粒子物理學中的重要性,以作用量來描述粒子物理的基本原理最為方便。 當然,由於量子力學中的不確定性,決定論並不成立,最小作用量原理須要被修正。這是 我們下一章討論的課題。
    註解:
    1) 在經典電動力學裏,電磁場於某一時刻的狀態是電場 E 和磁場 B 的空間分佈。在廣義 相對論裏,所謂的“某一時刻”其實指一三維類空超曲面(spacelike hypersurface),而引 力埸於某時刻的狀態則是該曲面的三維空間度規和該度規的法向(類時方向)導數。

    2)讀者如果對微積分有基本認識,便不難明白為何最小作用量原理蘊含牛頓運動方程。 考慮圖三中的 δx,它是時間 t 的函數,記為 δx(t)=ε f(t)。S 取最小值的必要條件為
    螢幕快照 2018-05-18 下午3.35.38而通過直接計算,我們可得到
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    由於 x(t1)和 x(t2)是固定的,f(t1)=f(t2)=0。所以
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    所以螢幕快照 2018-05-18 下午3.46.21為0相當於
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    由於 f(t)是任意函數,我們得到 螢幕快照 2018-05-18 下午3.50.14這便是牛頓運動方程。在歷史上,最小作用量原理有幾個等價的不同版本,以上討論到的是哈密頓於 1834 年發表的版本,稱為哈密頓原理(Hamilton's principle),是現代最為廣 泛採用的版本。
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