專業 物理

(第一章)粒子、場和量子場

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撰文者:黎偉健 博士 (Department of Physics, Technical University of Munich, Germany)
發文日期:2018-01-11
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  • 切物質皆由基本粒子組成。粒子物理學是一門研究基本粒子相互作用的物理學分支。 從還原論角度看,粒子物理學是自然科學的基礎。在「粒子物理行」裏,我們會踏足粒 子物理學的每個角落,包括粒子物理的基本概念、主要研究成果和一些有關歷史。
     

    ab93a4f9c1c50a579ba0536f412f9424粒子

    在介紹基本粒子之前,先讓我們了解粒子是甚麼。要說清粒子是甚麼其實並不容易。現代 物理學對粒子的描述涉及到量子力學和狹義相對論,與我們直覺中的「經典粒子」有點 不同(「經典」(classical)一詞泛指任何非量子概念)。我們一般會認為,粒子是一個很小的顆粒,它在每一時刻有其確定的位置。但量子力學告訴我們,粒子的位置並不確定。粒子是一個波包(wave packet)(圖一)。
     
    Fig_1
    圖一
     

    如圖所示,波包基本上被限制在長Δx的區域,雖然該區域之外也有很小的非零值。也就是說,如果Δx很小,我們便以為粒子的位置很確定。事實上,Δx的確很小,但並不為零。圖二是對電子進行的雙縫實驗:電子(顯示為波) 一顆一顆地被射向一個間距約為1μm的雙縫,投射在屏幕的電子會留下一個點狀印記。
    Fig_2拷貝
    圖二
     


    圖三是實驗中的點狀印記分佈結果。圖a為實驗剛開始不久的印記分佈。可見電子彷彿無序的隨機散落在屏幕上。圖b、c、d和e為隨着時間過去,落在屏幕上的電子數目愈來愈多的結果。點狀印記的多條紋分佈是干涉現象,印記集中處為建設性干涉(constructive interference),這證明Δx不為零,即電子同時穿過兩個縫。如果Δx為零,即電子具有確定位置,那麼它只能穿過其中一個縫,從而印記分佈應如圖四。Δx非零說明電子是波,Δx很小說明電子是粒子,這就是波粒二象性。 
    Fig_3
    圖三  (A. Tonomura et al. (1989))
    Fig_4
    圖四

    所以,每個粒子由一波函數ψ(x)來描述(例如,波包的波函數如圖一),其中x為位置。波函數包含了一切關於該粒子的訊息。例如,波函數的平方|ψ(x)|2正比於粒子在位置x出現的機率。原則上,該粒子的任意可觀察量(observable)(如能量、動量、角動量等)被量度時所取的值的機率皆可從波函數獲得。給定可觀察量A,只有呈特定分佈的波函數可以有確定的A值。這些有確定A值的波函數稱為可觀察量A的本徵態(eigenstate)。例如,具有確定位置x=x0的波函數是一個位於x0,寛度為零的峰(圖五);而具有確定動量p的波函數是一波長為λ=h/p(其中h為普朗克常數(Planck constant))的正弦波(圖六)。注意!圖五極不像一個正弦波,所以當位置確定時動量極不確定。類似地,圖六的正弦波伸延到無限遠,所以當動量確定時位置極不確定。更量化地說,位置的不確定度和動量的不確定度成反比(這裏不確定度指統計學上的標準差):
    ΔxΔp≥h/4π
     
    這就是測不準原理(uncertainty principle)。在現代量子力學的框架裏,測不準原理並不是基本原理,它可以由量子力學的基本原理導出。
    Fig_5
    圖五

    Fig_6
    圖六
    原則上,位置的不確定度Δx是可以任意大的。如圖二中,細小的波包(Δx很小)穿過雙縫後變成兩個交疊着的扇形波。這兩個波會不斷擴散(Δx增大),直至它們到達屏幕,與屏幕上的原子發生相互作用。可是,由於電子與屏幕上的原子間的相互作用具有局域性 (locality),即相互作用發生在一個很細的區域裏,相互作用的結果是一個某位置上的細小印記(電子撞上原子,放出光子,形成螢光點)。換句話說,電子位置的訊息透過與宏觀系統的相互作用被確定並且放大。這種微觀系統的訊息因與宏觀系統相互作用被確定並放大 的過程便是量度(measurement)。當電子碰上屏幕,形成印記,它的位置便被確定下來,波函數瞬間由位置不確定的交疊扇形波變成位置頗確定的細小波包(圖一)。這種波函數的突變過程稱為量子態塌縮(wavefunction collapse)。一般情況下,電子頻密地與宏觀環境進行相互作用,所以量子態頻頻塌縮,導致Δx沒有充份時間擴大至宏觀尺度,而絕大部份時間維持在細小波包狀態。這就是為什麼在宏觀尺度下電子的位置彷彿很確定。即使在圖二的電子雙縫干涉實驗裏,雙縫與屏幕的距離並不大,為約10μm,而屏幕上的干涉條紋間距僅為約1μm。量子態的塌縮機制涉及到量子系統與宏觀環境的量子糾纏(quantum entanglement), 並且有些方面在學術界仍未有定論,是一個物理學的未解決問題,稱為量度問題(measurement problem)。我們不會對此課題作深入探討。以上對量度的看法只是其 中一派學說,稱為環境誘導超選擇(environment-induced superselection,簡稱einselection)。

    粒子的波函數會隨時間而演化,演化的過程必須使得粒子被發現的概率在每一時刻均為 1,這種演化稱為麼正演化(unitary evolution)。主宰波函數麼正演化的方程稱為薛丁格方程(Schrödinger equation)。我們不會詳細探討薛丁格方程,我們只須明白演化的麼正性,即發現概率常為1。量子力學的麼正性將在粒子物理裏扮演着重要角色。 


    ab93a4f9c1c50a579ba0536f412f9424

    光是電磁波,即電磁場的振動在空間的傳播。在由馬克士威方程(Maxwell equations)主宰的經典電動力學裏,電磁場具有空間分佈,即是波。粒子間的電磁相互作用透過電磁場來傳遞。例如,兩電子間的靜電斥力由它們所產生的電場傳遞。電磁埸有如物質,具有能量,動量和質量。例如,兩個電子之所以互相排斥,是因為它們所產生的電場能量隨它們距離增加而減少。而電子本身的質量有一部份便是來自它產生的電場。所以,在經典物理學裏,物質分為兩類:一類是如電子和原子等的粒子,另一類是如電磁場的場,是一種波。

    從以上對粒子的討論中,我們知道電子和原子等粒子具有波的性質。從極微弱雷射的雙縫實驗中,我們也可獲得類似圖三的結果。這說明光不但具有波的性質(干涉現象),也具有粒子性質(屏幕上的點狀印記)。所以,量子力學中的波粒二象性統一了粒子和場這兩個經典物理學概念。

    當然,正如電子,光子(組成電磁場的粒子)在絕大多數情況下以小波包(圖一)的狀態出現。可是,光的干涉現象在日常生活中並不難看見(例如路面油漬上的彩色圖案便是一干涉現象),而電子或原子的干涉現象幾乎不可能在日常生活遇到。這是因為可見光的波長遠遠大於一般電子或原子的波長(可見光的波長約為1μm,而室温下的氫份子(H2)波長約為 10-10m)。圖七顯示了波長小的波穿過雙縫時的情況,可見幾乎沒有任何干涉(兩波重疊時因疊加而導致的消長)或繞射現象(波經過缺口後的縱向擴散)。
    Fig_7拷貝
    圖六

     
    ab93a4f9c1c50a579ba0536f412f9424量子場

    以上我們從量子力學的角度統一了粒子和場的概念。我們並未考慮到現代物理學的另一基石—相對論。在經典物理學裏,狹義相對論修正了牛頓力學,給出了粒子在高速時的正確行為(如時間延長、長度縮短、相對論性速度疊加等),也給出了著名的質能等價關係 E=mc2(其中E為質心系中的系統總能量,m為系統總質量,c為光速)。在量子物理學裏,狹義相對論蘊含着眾多翻天覆地的驚人結論。這些驚人結論比時間延長、質能等價等更荒誕離奇,但都一一被實驗證實。基於量子力學和狹義相對論的粒子理論稱為量子場論。量子場論的成功可說是量子力學和狹義相對論的最佳鐵証。還有,量子場論具有環環相扣的緊密邏輯結構,只要理論架構的一小塊被拿掉,整個理論便會因內在不相容而塌陷。因此,量子場論可說是大自然的完美藝術品,而人類有幸能發現它,一窺它的奧秘,本身就是一個值得讚嘆的奇蹟。

    在本章裏,我們會對量子場的概念作初步了解。在未來的章節裏,我們會一一探討量子場論的精密邏輯結構、驚人結論和實驗驗證。值得注意的是,至今物理學家對如何把量子力學和廣義相對論結合仍然未有定論,有機會我們也會對這課題作一窺探。

    在牛頓力學中,各自粒子的質量為守恆量,隨時間不變。也就是說,粒子不可能變成其他質量不同的粒子。在狹義相對論中,質能等價關係預言了只要總能量和總動量守恒,粒子可以被湮滅,轉化成其他粒子。例如,電子和反電子相遇時有可能互相湮滅,變成兩顆質量為零的光子。又例如,光子可以因被原子吸收而消失(這就是為何物質會有顏色!)。所 以,對於給定粒子的種類,該種粒子的粒子數並不守恆,隨時間而變化。假定粒子的種類為光子。那麼,要描述光子所組成的場(電磁場)的量子態,我們當然要知道光子的波函數。可是由於光子數量是不定的,我們必須知道有一顆光子的波函數、有兩顆光子的波函 數、有三顆光子的波函數,如此類推。也就是說,場的量子態由以下一系列波函數描述:ψ1(x1),ψ2(x1,x2),ψ3(x1,x2,x3),... 。這一系列波函數可簡寫成{ψn(x1,...,xn)}。所以,我們說{ψn(x1,...,xn)}描述了電磁量子場的態。這裏我們使用了多粒子波函數ψn(x1,...,xn)的概念。這概念不難理解。例如,ψ2(x1,x2) 的平方|ψ2(x1,x2)|2正比於一顆光子在x1並且另一顆光子在x2的概率。

    所以,量子場其實就是把場視為某種粒子的集體,而粒子有其波函數,並且粒子數並不確定。換句話說,每種粒子都對應一個量子場。例如光子對應電磁場,而電子對應電子場。從這種角度看,粒子是量子場的激發。這就解釋了為何每顆電子都有相同的質量和電荷,因為它們是同一個場—電子場—的激發!

    我們之前提及過波函數演化的麼正性,它保證粒子被發現的機率總為1。可是,正如以上提到,粒子是可以被湮滅的。所以,在量子場論裏,麼正性只要求量子態在被量度時所獲得不同量度結果的概率總和為1。例如,如果初態為一顆電子和一顆反電子,那麼終態被量度時可以是兩顆光子、三顆光子、正反電子加一顆光子,如此類推。而這些不同的量度結果的概率總和必須為1。

    以上我們也提及過粒子相互作用的局域性(locality)。粒子相互作用的局域性是粒子之所以稱為粒子的原因。而量子場論便是一遵從局域性的粒子理論。在一些現代粒子理論的延伸中,例如弦論(string theory),物質的基本單元不是零維度的粒子,而是一維的弦。弦的長度是可變的,在高能振動下可以變得很長。所以弦與弦之間的相互作用並不具有局域性。可是,由於弦本身有張力,當振動能量很低時,它的長度很短,像一顆粒子。所以,弦論在低能現象中與量子場論無異。 
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