教育 物理

冬季奧運會裡的力學問題

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撰文者:蔡坤憲
發文日期:2018-10-08
點閱次數:49
  • 我們在學校裡學物理,會覺得「計算題」較困難,還是「觀念題」較困難?

    看完試題後,選對公式,套入數字,正確的計算出答案,這樣真的有理解嗎?以文字敘述的方式,寫下「能量守恆」或「動量守恆」等專業的物理術語,或是從選擇體的選項中,勾選出正確的論述,就算理解物理觀念了嗎?這些幾乎是每位物理老師或學生常常會遭遇 ( 或感到掙扎 ) 的問題,其實很難有一個簡單明確的答案。

    紐西蘭的物理試卷,有兩大特色:一是重視情境 (context),每一份試卷,大多有三道題組,一道題一個故事,再從其中細分為三至五個子題。出題的方向,大多是物理的日常應用,希望學生能從這些生活常見的現象中,看出背後的物理原理。其次是重視觀念解釋,每一道試題,都會有一道觀念解釋題,要求學生以文字的方式,可佐以公式、圖表或繪圖的方式,來說明他們的想法與理解,而這些觀念解釋題,往往是佔分較重的子題。

    這一期的專欄,我們分享一份十二年級 ( 高二 ) 的力學試卷,以冬季奧運會中速度滑冰、冰上曲棍球與跳台滑雪三等個項目為題材,如果你已學過運動學 ( 等加速度 )、牛頓運動定律 (力量)、能量與動量等觀念,不妨拿出紙筆與工程計算機,給自己一小時的時間,享受一下解題的樂趣。

    試題一:速度滑冰 (Speed Skating)

     
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    速度滑冰


    第23屆冬季奧林匹克運動會,於 2018年2月9日至25日在韓國江原道平昌郡舉行。其中有位76 kg的速度滑冰選手,從靜止開始加速,滑完第一個100公尺時,共花了10.5秒。
    (a). 試證明此滑冰選手的平均加速度大小為 1.8 ms-2
    (b). 比賽的賽道周長為 400 米,由兩條直道和兩條 180 度的彎道連接而成;彎道直徑為50.0 m。若選手在彎道時,冰鞋對冰的施力大小為 596 N,試計算選手在滑過彎道時的速度大小?
    (c). 假設選手在彎道時,失控摔倒,背部著地 ( 意即冰鞋與地面沒有接觸 ), 請描述選手摔出賽道的過程,並說明相關的假設條件。

     
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    選手在彎道時失控摔倒

    (d). 滑冰選手須適當地調整自己施力的角度,來讓自己可以朝著目標加速前進。
    如圖所示,在選手以 1.8 ms-2 加速向前時 (a 小題 ),冰刀與前進方向的夾角 α 為 32°。試繪製向量作用力圖,並據此求出選手施於冰面的平均作用力大小。 提示:你可以先從確定合力的大小開始。如圖,冰面與選手之間的作用力方向,與冰刀的方向垂直。

     
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    試題二:冰上曲棍球 (Ice Hockey)

    在一場冰上曲棍球的練習中,兩位選手撞在一起。其中小華的質量 85 kg,以 6.5 ms-1的速度向右移動。小明的質量 65 kg,靜止不動。
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    (a). 試述在兩人相撞的過程中,哪一個物理量是守恆的?並說明你做了哪些假設,才能得出此結論。
    (b). 在兩人相撞之後,小華的速度變為 2.3 ms-1 朝右,試計算小明的速度大小與方向。
    (c). 冰上曲棍球的裝備有許多護墊,如護胸、護肘、護腿等。假使不穿戴這些護墊,試從作用力大小的觀點,來討論在兩選手相撞的過程中,小華的感覺如何?
    (d). 在某次的射門練習中,小明擊出冰球初速 15 ms-1,與水平夾角 32°。試計算冰球在落地之前,最大的高度為何?


    試題三:跳台滑雪 (Ski Jumping)

    跳台滑雪 ( 又稱跳雪 ) 比賽中的跳台由助滑坡、著陸坡、停止區組成,各個坡道有各自的曲率弧度與角度。

     
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    (a). 請說明跳雪選手在「助滑區」與「起跳台」之間,主要的能量轉換過程為何?

    (b). 某跳雪選手質量 65 kg,在跳離起跳台瞬間的速度為 24 ms-1,假設忽略各項摩擦力與空氣阻力,試問起點與起跳台之間的高度差為何?

    (c). 實際上,滑雪板與坡道之間存在有摩擦力。請解釋這個摩擦力對於你在
    (b) 小題的計算結果,有何影響?

    (d). 稍後,這位選手拿著他的滑雪板,放在長凳邊,想用一個質量 5.0 kg 的啞鈴壓著來保持平衡。這個滑雪板長2.2 m,質量2.6 kg。如圖六所示,假設滑雪板的左側有0.65m 在長凳上,那麼應該把這個啞鈴放在何處,距離長凳邊緣的最短距離,才能讓滑雪板保持平衡?


     
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    似懂非懂的「等加速度」 觀念

    在傳統上,運動學是物理學的第一課,我們都是從「描述運動」開始的。學生從小學的數學課,在學除法的時候,就學過「速度等於距離除以時間」,所以說這個觀念已「深植人心」並不為過。至於加速度的觀念,通常會等到物理課才首次出現。稍微有上課或做點功課的學生,大多能掌握「加速度等於速度的變化量除以時間」的定義,但卻容易出現似懂非懂的作法。

    以試題一的 (a) 小題為例, 有幾位學生知道選手的初速為零,卻以距離除以時間 (100 ÷10.5=9.5 ) 為末速,再以速度變化來計算加速度大小 ( 9.5÷10.8=0.9 ),然後發現這與題目所給的 1.8 ms-2 不同,但卻又不知道該怎麼辦!



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    看得出這學生對於加速度,只有「似懂非懂」的程度。在課堂的練習題中,學生會得到很多暗示,知道要去使用等加速度的三個運動學公式。然而,等到把他們放到一個真實的情境或考試中,讓他們依自己的想法來解題時,除非他們已真正理解 ( 或熟悉 ) 等加速度運動與這三個運動學公式的關聯,否則很難想到去運用
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    這個公式。閱卷時看到不只一份這樣的解答,不禁莞爾。回想自己小時候,也曾經在試卷上寫過非常類似的答案!反省自己的教學,自覺沒有疏漏之處,不過,還是會有少數學生「一知半解」。因此,發完考卷之後,特地把這幾個學生集合起來,聊一聊之後發現,原來一知半解的理由是上課不專心、剛好請病假、回家沒有做作業、「課本只讀了前兩頁」等等。所以說:犯錯永遠是最佳的學習機會!

    試題一解題觀念:圓周運動、作用力的向量分量


    等速圓周運動是高二力學的一個重點,更是生活中常見的現象。在課堂上,老師往往是從「一整個圓」來開始介紹,稍後則會再進一步介紹「物體在轉彎或是改變方向的瞬間,必定會有一小段圓周運動」這個概念。
    學生大多能從公式

     
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    計算出向心力的大小,但很容易誤認為向心力也是一個真實的作用力,而忘記它其實是個「合力」,是許多作用力共同作用之下的結果。當提供向心力的原因消失之後,以此題為例是滑冰鞋上的冰刀與冰面之間的作用力,物體會依慣性的緣故,沿切線方向繼續前進。(b) 小題的解答為,選手在轉彎時的速度為

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    稍微思考一下 (d) 小題,題意為:當冰刀與正前方夾角為 32° 時,選手想朝著正前方加速前進,應該施力若干?解題的關鍵在於向量的分量,由於選手已朝著正前方加速,合力的方向就是正前方,大小則是質量與加速度的乘積:F = ma = 76 ×1.8 = 136.8N

    讓選手加速前進的作用力,是來自於地面的反作用力,方向如圖所示,來自地面的推力與前進方向 ( 合力方向 ) 夾角為 58°,因此,選手的推力大小為

     
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    圖八:冰刀推力與合力的向量圖
     
    試題二解答觀念:動量守恆、二維等加速度運動 ( 斜向拋射 )

    首先,是碰撞過程的前後,系統的總動量是守恆的,背後的假設是過程中,沒有外力作用。其次,根據動量守恆定律,列出算式

     
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    移項運算之後可得小明的速度為 5.5 ms-1,朝右。

    (c) 子題的重點是「衝量等於動量變化」的觀念,而衝量的定義是衝力與作用時間的乘積 ( J = F ⋅Δt )。護墊的功用在於增長衝撞的時間,因而減小衝力的大小。在評分方面,學生只需提及若不穿戴護墊,小華會感到衝力變大,即可及格 (Achieve),若能提及碰撞的時間減短,即得優秀 (Merit),須完整地解釋衝量與動量變化之間的關係,才能得到卓越(Excellence)。

    (d) 子題是運動學中斜向拋射的問題, 只需計算出初速度在垂直方向的分量(vy = 7.95 ms−1),再透過等加速度運動公式
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     ,即可得出最大可能高度為 3.2 m;其中因重力加速度的方向朝下,所以加速度的數值應以 −9.8 來做計算。

    試題三解答觀念:能量守恆、靜力平衡 ( 力矩 )

    (a) 子題的答案是「重力位能轉換為動能」。這是一個及格程度的簡單觀念題。
    (b) 子題只需把這個觀念寫成數式
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    代入數值,在做些簡單的度數運算,即可得出起點比起跳台高出 29 m。

    子題 (c),若考慮摩擦力存在的情況,會有部分的重力位能轉換為熱能,因此,選手在離開起跳台時的速率會減低,若想保有相同的速率,則需要增高起點的高度。

    (d) 子題是個靜力平衡的問題。以長凳的邊緣為支點,列出順時針方向力矩等於逆時針方向力矩的算式,簡單計算之後,便能得出答案為 0.23 m:
    τ ACW = τ CW
    Fmdm = Fskidski
    (5.0 × 9.8) × d = (2.6 × 9.8) × 0.45

    在評分方面,學生只需要分辨質量與重量的差別,例如滑雪板的重量是 25.94 N,而不是題目所給的 2.6 kg,或是 5.0 kg 啞鈴的啞鈴重量為 49 N,就算及格 (A)。正確的計算出答案,則為卓越 (E),若是觀念正確,但在計算過程中出些小差錯,或是以質量來計算力矩,雖然最後的答案數值正確,只能得到優秀 (M) 而已。

    結語

    做完這份試卷之後,不知你會覺得是「計算題」或是「觀念題」較為困難?也許你也和我當初剛接觸紐西蘭試卷時的經驗一樣,感覺「文字好多」;不僅題目的文字敘述很多,答題時也得用很多文字來說明觀念,感覺就像是在「寫作文」。

    雖然我們都不喜歡「考試領導教學」,不過在實務上,考試真的可以「大幅度地影響」教學。我在當師培生的時候,教育部透過師資培育課程,傳遞出一個很重要的訊息:紐西蘭的每一位老師,無論任教的科目為何,都是 literacy ( 英文讀寫 ) 的老師。換言之,提升學生運用語言文字的能力,是每位老師的責任。當時的師資培育課程還有一門名為 LTTTL– Learning to Think Through Literacy (學習透過讀與寫來思考) 必修的學程。那時我還納悶,怎麼能叫物理或科學老師去「教英文」呢?


    我們常說「數學」是物理的語言,因此,良好的數學能力,是幫助物理思考的重要工具。然而。有了實務經驗之後,我逐漸體會到,語言、文字、符號與思考、情感、創意之間的緊密關聯。理工科對語言文字的要求,表面上似乎偏低,其實不然,小時候在語言、文字上的素養與薰陶 ( 童書、古詩詞等 ),其實都是長大之後許多創意的來源,也是良好溝通能力的基礎。因此,在中學這個國民教育階段,藉由物理學來培養科學的語言表達與溝通能力,是有道理的!也許,下一個暢銷科普作家或「倪匡」,就是從現在這樣點點滴滴開始的?

    延伸閱讀:
    關於及格、優秀與卓越的評分方式,請參考前文:紐西蘭沒有「一百分」的考試
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