教育 物理

百聞不如一見的平行板電容器:虛擬與實境的搭配

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撰文者:蔡坤憲
發文日期:2018-05-10
點閱次數:3352
  • 記得在紐西蘭上師資培育課程時,有位教授帶了一個活動:以三十秒的時間,跟旁邊的人說你家住在哪裡。設計這個活動背後的理由很簡單,因為我們馬上都是要當老師的人,而老師的主要工作之一,就是把自己所理解與熟悉的知識內容,傳達給對該領域還不甚熟悉,甚至是一無所知的學生們。
     

    試想一下,你會怎麼跟一個陌生人說自己家的位置呢?如果不透過導航或Google地圖,我們應該都會從家裡附近著名的地標或地物開始,譬如某某學校、公園,或是百貨公司、商場等等,如果這位「學習者」知道你所說的第一個地標或地物,那麼你便可以逐漸深入細節到某個紅綠燈、超商、巷弄等等,然而,如果他不知道你所說的那一個地標,那麼你就得擴大範圍,到稍遠一點,一個更大的地標或地位,然後再逐漸縮小範圍。因此,教與學的雙方對於第一個地標的共識是很重要的,建立起這樣的連結之後,後續的學習才有可能發生,否則就只是「雞同鴨講」而已。
     

    本期的專欄,希望以「電容」為例,與大家分享我與學生之間建立連結的一個方式。

     

    1bdad59d2d52022aee60c09b67fe62a2電容器:用來「裝電」的容器



    關於電容與電容器這個教學單元,一般是從最基本的定義開始:電容器可以「容電」,也就是可以儲存電荷、電能的原件,而其「容電的能力」就是它的電容大小。這一點也可以從英文的capacity (容量、容積) 與capacitance (電容) 這兩個字看出來。
     

    然而,用來「裝電」的電容器與用來「裝水」的杯子或鍋碗瓢盆,在構造上不同。雖然水與電都具有流體的性質,但電卻另外有一個特殊的性質,就是有正、負電性的差異。因此,學生需要理解電容器的構造是「兩塊導體,分開一段距離」。之所以需要兩塊導體來「裝電」,是因為要利用異性電荷相吸的特性。而構造最簡單的導體形狀,就是金屬板,因此所有的教科書都是以「平行板電容器」來介紹電容器的工作原理,而電容器的電路符號 (‒‖‒) 也是以此為基礎。
     

    在知道電容器的基本構造之後,下一步便是定義出電容的大小:當我們對電容器充電之後,這兩塊導體會各自帶有等量的異性電荷,一正一負 (±Q),因而造成這兩個導體之間有了電位差 (ΔV)。由於導體上所帶的電量愈多時,兩導體間的電位差也愈大,因此可把電量與電位差的比值定義為電容大小。即
     

    C = Q/ΔV
     

    值得稍加補充的是「孤立導體」的電容大小:從「兩塊導體」到「孤立導體球」之間,需要跳過一個觀念。先想像有兩個同心圓的金屬球殼,當其中外球殼的半徑為無限大時,那麼眼前所見這個金屬球就成了「孤立導體球」。
     

     

    1bdad59d2d52022aee60c09b67fe62a2「介電常數」又名「電容率」,到底是甚麼意思?
     

    信上述關於電容的定義,並不難理解。但是,在此之後,教科書馬上就會引進介電常數 (又稱為電容率,英文是permittivity,符號ε,讀作epsilon),而傳統上教科書介紹介電常數的方式,對大多數的學生而言,就像是「天書」一樣:
     

    以平行板電容器為例,金屬板面積為A,兩板之間距離為d。兩片帶等量異性電荷的金屬板,兩板之間的電場強度E與金屬板上的面電荷密度 (σ) 成正比:
     

    Ε ∝ σ = Q/A 
     

    而兩板間的電位差 (V) 又等於其間電場 (E) 與兩板間距 (d) 的乘積:
     

    V = E∙d ∝Q∙d/A  
     

    依先前電容的定義 (C = Q/ΔV),將上式移項整理可得
     

    C =Q/V ∝ A/d  
     

    意即:平行電容器的電容大小,與其金屬板面積大小成正比,而與兩板間距離成反比。若定義比例常數ε為介電常數,則平行板電容器的電容大小為:
     

    C =εA/d 
     

    從我自己學習與教學的經驗來說,這不僅很抽象、名字都很不親切,甚至連採用的符號ε,都是一個從來沒見過的希臘字母。隨後還有真空電容率(ε0)以及相對電容率(εr)等,以及ε=εr·ε0這樣一個公式。學生就算能把公式背起來,甚至能把題目算出來,也都還是會有「不懂」的感覺。

     

    1bdad59d2d52022aee60c09b67fe62a2「根據小說改編」的電腦模擬動畫
     

    回想自己還是學生的時候,電腦動畫還不普遍,只能看著教科書裡的文字與圖片,自己想像電荷在平行板電容器裡流動的情形。近幾年來開始出現許多模擬動畫,看著它們如實地把我內心的想像,搬上螢幕,感覺就像是看到「根據小說」改編的電影或電視劇一樣,設計較好的動畫,還能模擬出金屬板的面積大小以及兩板之間的距離,對於電容大小的影響,對教學頗有幫助,也有助於學生理解書中文字所欲傳達的概念 (註一)。
     

    約三年前,我見識了本校這位有四十多年物理教學經驗的同事,拿了兩片金屬鋁板,中間以木製米尺相隔,接上三用電表後,立刻可以得知這個「平行板電容器」的電容值。雖然我對這個「理論」早已滾瓜爛熟,但是,看到「實物」的瞬間,在心理上還是覺得蠻驚豔的!
     

    這兩片金屬鋁板,現在已成了我介紹電容的重要教具。我從展示電路板上常見的電容器開始 (圖一),簡單介紹「電容器是用來裝電的容器」之後,便直接以三用電表來測量這些容器的「容量」。接著登場的就是這組金屬鋁板!
     

    圖一:各式各樣的電容器1
    圖一:電容的開場白:各式各樣的電容器。
     

     

    1bdad59d2d52022aee60c09b67fe62a2平行板電容器的「本尊」
     

    這是一個由我主導的「示範實驗」,差別只是把原本黑板上,用以代表電容器的兩條直線,換成這兩片金屬板;而原本該整齊地坐在座位上抄筆記的學生,則被我叫過來圍著講桌看我做實驗而已。在教學過程中,跟學生之間的問與答,與一般教學無異。對於還不熟悉電容理論的學生而言,心中或許沒有我所感受到的驚艷,但還是能引發一大堆問題,例如:電表中的數值代表著甚麼?「容電」是甚麼意思?為什麼這兩塊板子可以容電?而這些七嘴八舌的問題,正是我最希望看到的結果:學習動機。而這兩片金屬板,就是學生與陌生的「電容概念」之間,一個真實的連結 (圖二)。
     

     

    圖二:金屬板 完全重疊 1224
    圖二:平行板電容器的「本尊」。

     

    由於學生已經熟悉「電子」的概念,對於電壓 (電位差) 與電流也有基本的理解,因此,對於電容的定義 (兩板所帶電量與電壓的比值,稱為電容),以及電容的SI單位為法拉 (Farad,庫侖/伏特,符號為F) 等等,並不會覺得過於抽象。

     

    1bdad59d2d52022aee60c09b67fe62a2如何改變電容器的電容大小?
     

    在學生親眼目睹了「兩片金屬板,中間以木製米尺相隔」就成了電容器之後 (圖二),我再以實驗設計中最基本的操縱變因與應變變因的思維,移動金屬板,以四分之一金屬板面積為單位,逐漸減小其重疊的面積:兩板完全重疊時的電容質為 1224 pF,四分之三重疊時為736 pF,二分之一重疊時為646 pF,四分之一重疊時只有513 PF,如圖三所示。雖然從電表顯示的數值並不是那麼精確或完美,但是已經足以顯示出「重疊面積愈小,電容也愈小」的正比關係。
     

    圖三:平行板電容器的電容大小與其面積成正比
    圖三:平行板電容器的電容大小,與電板的面積成正比。

     

    接著我們把操縱變因改為兩板之間的距離:兩金屬板保持完全重疊,把原本一把米尺的厚度,增為二把米尺,電容值則降為814 pF (圖四)。同樣地,數值也是不很完美,但仍能粗略顯示「兩板距離愈大,電容愈小」的反比關係。
     

    圖四:兩板增加距離 814
    圖四:平行板電容器的電容,與兩板之間的距離成反比;圖中兩板之間的距離為兩把木尺的厚度。
     

    接下來,我們又把操縱變因兩板之間的米尺數目:原本在金屬板兩側的兩把米尺,是用來分開這兩片金屬板,以免它們短路的。現在我們於兩側各增加二把米尺,結果發現電容增為1906 pF (圖五)。這裡雖然沒有正、反比的關係,但卻很明顯地顯示出,在兩金屬板之間放入木尺之後,增大了原本的電容值。而這個木尺所代表的「絕緣材料」,就是我們所謂的「介電質」,不同的材料,例如紙、玻璃、橡膠、陶瓷等等,各自有其效果,在精密的測量之後,可以得出每個材料的介電常數ε,就像密度、沸點、熔點、折射率一樣,是材料本身的一個物理特性。推而廣之,空氣、真空也有它們的介電常數。如果我們訂真空的介電常數 (或電容率) 為ε0,那麼各個材料與真空相比時的倍數關係,就是相對介電係數或相對電容率εr
     

     

    圖五:介電質 1906

    圖五:在平行板電容器兩板之間置入絕緣材料(介電質)之後,電容增大。

    就這樣,不需要透過任何數學公式,直接歸納出前述平行板電容器電容大小與金屬板面積、距離、介電質之間的關係。至於那個不太完美的正反比數值關係,也提供了一個很好的切入點,讓我可以和學生討論電容器並聯與串聯的問題。隨後再把電容並聯與增大金屬板面積,以及電容串聯與增大金屬板間距離,這兩個觀念連結起來。

     

    1bdad59d2d52022aee60c09b67fe62a2把電容器比喻成公車

    在熟悉了電容器的電容大小與其幾何形狀之間的關係後,我引導同學由「庫倫定律」的觀點,為這個現象提出解釋。在他們稍作討論之後,我透過「虛擬」的電腦動畫提出一個比喻:電容器在剛開始充電時,電荷較易流進金屬板中,但隨著電荷的累積,金屬板上的電荷之間彼此的排斥力也隨之增加,類似「擠公車」的狀況,終會有擠不進去的時候。此時,如果我們加大金屬板的面積,就好像派出一輛較大的公車一樣 (增大面積),可以承載更多的乘客。又或是,我們縮小兩金屬板間的距離,增大兩板異性電荷之間的吸引力,就像乘客發揮公德心,每人都往車廂內移動一小步那樣,也可增加載客的數量 (增加電容)。
     

    這個比喻除了能很直觀地理解的平行板電容器的工作原理之外,也為電容器的充放電時間,提供了一個很直覺的理解,紐西蘭的高中物理與數學課程都沒有嚴謹的介紹自然指數函數,而是直接以函數圖形介紹「指數遞增」、「指數遞減」或「飽和」等特性。在物理課,自然指數是透過簡單的電阻-電容串聯電路 (RC電路),直接讓學生測量,在充電時,電容器兩端的電壓大小與時間之間的函數關係。而類似擠公車這個「愈來愈困難」的過程,就是指數與飽和關係的最佳實例。
     

    其次,這個擠公車的比喻,也很合適用來理解電容器在開關剛按下 (On) 時的瞬間是短路 (電阻為零),以及在開關按下很久之後為斷路 (電阻為無限大) 這兩個特性。因為對於第一個上車的乘客來說,車廂空曠,幾乎沒有阻力可言,然而,對最後那個擠不上車的乘客來說,阻力就是無限大了!
     

    最後,交流電是紐西蘭的高中物理的一部份 (在台灣則是屬大一普通物理的範圍),學生需要知道電容在交流電路裡的的阻抗 (Xc),與交流電的角頻率 (ω)及電容的大小均成反比:


    X= 1/ωC

     

    這個有點抽象的性質,也能藉由擠公車的比喻來理解:對大型公車 (電容較大) 而言,乘客上車時的阻力較小,特別是對最初的幾個乘客而言;此外,假設搭車的大多是短程的旅客,乘客上下車的次數頻繁 (角頻率較高),公車不易客滿,那麼乘客在上下車時所感受到「阻力」也就比較小。
     

    附帶一提,在電阻與電容之外,另一個基本電路元件是電感。電感的基本構造是線圈,工作原理是冷次與法拉第定律。在交流電路中,與容抗類似的觀念是感抗:感抗正比於交流電的角頻率與電感大小 (f11)。這兩個性質相似卻又相反對稱的概念,可透過 (圖六) 所示的整流與濾波電路來展示。只需在輸入端接一個函數訊號產生器,透過LED燈泡,即可清楚地展示出如何透過容抗與感抗,來完成整流與濾波的效果。我們也拆了一台舊式的音響擴大器,讓學生親眼看到裡面的電容與電感是如何地區分出高音與低音,而分別把這些訊號送至不同的喇叭。
     

    圖六:整流與濾波電路實例
    圖六:整流與濾波電路實例

     

    1bdad59d2d52022aee60c09b67fe62a2難分軒輊的「虛擬」與「實境」
     

    回到與學生建立「連結」的教學理念:兩把木尺,兩片金屬片,一個三用電表,約三十分鐘的示範實驗,其實在實務上一點都不困難。然而,在我認識這位服務於紐西蘭杏壇四十餘年的同事之前,卻完全沒有想過我也可以這樣做。反思箇中緣由,應該是與我自己的學習經驗有關,因為我們在中學的理化課、物理課,大多著重於考試與解題,而動手做實驗所佔的比例相對偏低,所以,雖然我很擅長透過一根粉筆,就能把學生教懂教會,但與「這兩片金屬鋁片」相比,就覺得自己只是停在「說書先生」的階段。

    就目前的教育現場來說,幾乎所有的科學實驗,都能在YouTube或其它網站上找到示範影片或模擬動畫。就時間、人力、物力等實際因素的考量,透過影片或電腦動畫,真的是經濟又有效率,我也無意貶低這些教育軟體的價值與貢獻。

    然而,類似這樣一個看得到、摸得到的「小玩具」,還是能激起那種「好玩!」與「啊哈!」的感覺,這也逐漸改變了我的教學風格:從「虛擬」回到「實境」,並讓二者相互搭配,希望自己在「說書先生」之外,也是個操弄許多道具的「魔術師」。
     


    註一:Phet 網站上的電容器模擬動畫,可以看出電容與幾何形狀之間的關係,以及充放電時的電荷、電流、電場與電能等物理量的變化情形:https://phet.colorado.edu/sims/html/capacitor-lab-basics/latest/capacitor-lab-basics_en.html



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