教育 物理

白努力定理的誤解與錯誤應用

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撰文者:張慧貞
發文日期:2016-05-05
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  • 在許多與流體相關的現象與物理演示中,最常被使用來解釋的定理就是白努力定理;常見的(演示)實例包含:「乒乓球的漂浮」、「變化球」、「紙片相吸」、及「飛機飛行」…但有許多的研究文獻已經指出這演示實例採用「白努力定理」的不當之處。這樣的錯誤說明充斥在教科書與許多網路資料中,連知名的科普雜誌(科學人2007年第67期9月號:伸卡球魔力何來?—變化球密技大解析)也不例外。透過「物理雙月刊」37卷三期(2015/06)國立彰化師範大學物理學系張慧貞教授「教科書對於演示實例之理解與誤解」一文,讓我們重新來了解「白努力定理」以及文獻上針對「白努力定理」誤用的探討。(以下內容節錄自「物理雙月刊」37卷三期國立彰化師範大學物理學系張慧貞教授所著「教科書對於演示實例之理解與誤解」一文)

    「白努力定理」,常見的(演示)實例包含:「乒乓球的漂浮」(圖1)ㄛ、「變化球」(圖2)、「紙片相吸」(圖3)、及「飛機飛行」(圖4)…等。但透過理論與實驗的推證,多篇文獻指出這些演示實例採用「白努力定理」的不當之處。以「飛機飛行」為例,教科書中常見的敘述為:(1)因為機翼的上層距離較下層長,所以上層空氣的流速快、(2)根據「白努力」“流速快則壓力小”、(3)上下層之壓力差使飛機上升。

     
    教科書圖八
    圖1:乒乓球的漂移

    教科書圖九
     圖2:變化球

    教科書圖十教科書圖十一
             圖3:紙片相吸             圖4:飛機飛行


    ab93a4f9c1c50a579ba0536f412f9424文獻上有關白努力定理與飛機飛行的討論

    然而,Babinsky (2003)反駁上述的解釋,首先,「白努力」的理論公式(P+ρgh+(1/2)ρυ2=常數),是針對同一道流體的不同位置,根據「能量守恆」推導而得。所以相互比較速度(υ)與1壓力(P)的兩點,必須在同一道流體,而(1)機翼上、下層的氣流,已經不算同一道流體,故違反了白努力的限制條件。(2)根據實驗證據顯示,氣流通過機翼上下層後,並不會同時到達尾端(如圖5),所以,「上層流速快」的推論也站不住腳。(3)「白努力」的公式僅顯示速度與壓力的大小關係,並未包含兩者之「因果」關係,若根據「牛頓定律」(ΣF=ma )的觀點,壓力的差異應該是速度變化的原因,而非結果(ΔP⟹ΣF⟹a⟹Δυ),故正確的說法應是“壓力大則速度小”,而一般課本中則出現因果的倒置。
     
    教科書圖十二
    圖5:煙霧顯示上下流線並未同時抵達終端

    因此,「飛機飛行」並不符合「白努力」定理的範疇,同理類推其他三項演示,也都是針對不同流體做比較,違反「白努力」定理的限制。因此,無論是「乒乓球」、「變化球」、或「紙片相吸」的任何一種現象,都不能推論出「流速快空氣,壓力小於靜止的氣壓」的說法。

    對此,Kamela(2007)也透過實驗證明,透過風吹空氣的壓力,不但沒有小於周邊靜止的氣壓,反而比較大。Babinsky (2003)也針對「紙片相吸」的演示提出質疑,因改為單張紙的一側吹氣,則並不會觀察到紙片向內彎曲的現象。因此,Kamela及Babinsky的兩篇文獻皆顯示,「流速大造成壓力小」的推論,在以上四項範例中皆不能成立,無論在理論或實驗的立場而言。


    ab93a4f9c1c50a579ba0536f412f9424不是白努力定理?那是什麼呢?

    究竟這些現象該如何解釋呢?文獻也提出說明:Eastwell (2007) 認為此現象應使用「康達效應」(Coanda effect) 來解釋,又稱為「附璧效應」。Eastwell說“Th(e) tendency of a fluid to follow the shape of an obstacle, as a result of entrainment, is called Coanda effect. 意指: 流體遇到障礙物時(如機翼),會有沿著障礙物曲面流動的傾向,因流線的彎曲需要向心力(向下,作用於流體),而相對應的反作用力(向上,作用於機翼),機翼便受到「提拉」(entrainment,或稱「挾持」或「拽引」),使飛機上昇。Babinsky (2003)也認同Coanda effect才是關鍵的原因。並說明彎曲的流線,內外層氣壓會不均等(如圖6所示),外層氣壓(向下)會大於內層(向上),因此合力向下,提供流體彎曲所需的向心力。
     
    教科書圖十三
    圖6:向心力導致彎曲流線
     
          讀者或許會問,既然大多數「白努力定理」的著名演示,皆不符合該原理的限制,那究竟有沒有符合「白努力」的實例呢?測量流速(如水的流速或風速)的「文丘里管」Venturi tube(如圖7所示),就須採用「白努力」來解釋。因為在同一道流體上,截面積(A)的不同,造成流速(v)的不同(v∝1/A),這是「連續方程」(Equation of Continuity)的概念;而根據「白努力」,流速的差異可以顯現出壓力差,看到流體上方的液面出現高度差。因此,「文丘里管」可利用h及A1、A2透過「白努力」,推算流速。
    教科書圖十四
    圖7:文丘里管
    【參考資料】『觀念物理』:白努力定理的誤解與錯誤應用
    Babinsky, H. (2003). How do wings work? Physics Education, 38(6), 497.
    Kamela, M. (2007). Thinking about Bernoulli. The Physics Teacher, 45(6), 379-381.
    Eastwell, P. H. (2007). Bernoulli? Perhaps, but what about viscosity. The Science Education Review, 6(1), 1-13.
    同場加映:教科書對於演示實例之理解與誤解
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